Fire TV StickにAirReceiverを入れてミラーリングは安定して使えます。
Android端末では安定して使えない場合がある。
Fire TV Stickの内部はAndroidですから、Android端末のミラーリングは標準でサポートしています。しかしサポートしているのにもかかわらず相性があり、Android端末であっても全く繋がらないもの、繋がっても不安定なもの、ミラーリングできたとしてもWi-Fiが切断されてしまうものがあり、なかなか安定して使うことができません。
ところがiOS端末ならFire TV Stickに有料アプリAirReceiverを入れて安定してミラーリングすることができます。
iOS端末で安定して使えるAirReceiver
AirReceiverを入れてiPhone6s Plusで繋げるとこれが安定して使えます。iPadやiPhone6s等の持っているiOS端末を片っ端から試しましたがいずれも安定して使うことができました。
AirReceiverは起動するだけで特に何も設定はいらないお気軽アプリです。有料305円です。高いApple TVを導入するよりもFire TV＋AirReceiverほうが良いかもしれません。
AirReceiverで接続できなくなった場合：2016年8月22日（追記）
突然接続できなくなったので、いろいろ試行錯誤していたら、キャッシュとデータを消去することによって接続できるようになりました。
以下「Fire TV Stick」のメニューから行います。
「設定」＞「アプリケーション」＞「インストール済みのアプリケーションを管理」＞「AirReceiver」＞「キャッシュを消去」と「データを消去」